-- www.eigenmath.org/annihilation-2.txt -- Verify momentum formulas for electron positron annihilation. p = sqrt(E^2 - m^2) p1 = (E, 0, 0, p) p2 = (E, 0, 0, -p) p3 = (E, E expsin(theta) expcos(phi), E expsin(theta) expsin(phi), E expcos(theta)) p4 = (E, -E expsin(theta) expcos(phi), -E expsin(theta) expsin(phi), -E expcos(theta)) I = ((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)) gmunu = ((1,0,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,-1,0),(0,0,0,-1)) gamma0 = ((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,-1,0),(0,0,0,-1)) gamma1 = ((0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,-1,0,0),(-1,0,0,0)) gamma2 = ((0,0,0,-i),(0,0,i,0),(0,i,0,0),(-i,0,0,0)) gamma3 = ((0,0,1,0),(0,0,0,-1),(-1,0,0,0),(0,1,0,0)) gamma = (gamma0,gamma1,gamma2,gamma3) gammaT = transpose(gamma) gammaL = transpose(dot(gmunu,gamma)) "computing probability density" q1 = p1 - p3 q2 = p1 - p4 qslash1 = dot(q1,gmunu,gamma) qslash2 = dot(q2,gmunu,gamma) pslash1 = dot(p1,gmunu,gamma) pslash2 = dot(p2,gmunu,gamma) P1 = pslash1 + m I P2 = pslash2 - m I Q1 = qslash1 + m I Q2 = qslash2 + m I T = dot(P1,gammaT,Q1,gammaT,P2,gammaL,Q1,gammaL) f11 = contract(contract(contract(T,3,4),2,3)) T = dot(P1,gammaT,Q2,gammaT,P2,gammaL,Q1,gammaL) f12 = contract(contract(contract(T,3,5),2,3)) T = dot(P1,gammaT,Q2,gammaT,P2,gammaL,Q2,gammaL) f22 = contract(contract(contract(T,3,4),2,3)) "checking momentum formulas (1=ok)" f11 == 16 dot(p1,gmunu,p1) dot(p1,gmunu,p2) - 32 dot(p1,gmunu,p1) dot(p2,gmunu,p3) - 16 dot(p1,gmunu,p2) dot(p3,gmunu,p3) + 32 dot(p1,gmunu,p3) dot(p2,gmunu,p3) - 48 m^2 dot(p1,gmunu,p2) + 64 m^2 dot(p1,gmunu,p3) + 64 m^2 dot(p2,gmunu,p3) - 64 m^2 dot(p3,gmunu,p3) - 64 m^4 f12 == -32 dot(p1,gmunu,p1) dot(p1,gmunu,p2) + 32 dot(p1,gmunu,p2) dot(p1,gmunu,p3) + 32 dot(p1,gmunu,p2) dot(p1,gmunu,p4) - 32 dot(p1,gmunu,p2) dot(p3,gmunu,p4) - 48 m^2 dot(p1,gmunu,p1) + 48 m^2 dot(p1,gmunu,p2) + 32 m^2 dot(p1,gmunu,p3) + 32 m^2 dot(p1,gmunu,p4) - 16 m^2 dot(p2,gmunu,p3) - 16 m^2 dot(p2,gmunu,p4) - 16 m^2 dot(p3,gmunu,p4) + 32 m^4 f22 == 16 dot(p1,gmunu,p1) dot(p1,gmunu,p2) - 32 dot(p1,gmunu,p1) dot(p2,gmunu,p4) - 16 dot(p1,gmunu,p2) dot(p4,gmunu,p4) + 32 dot(p1,gmunu,p4) dot(p2,gmunu,p4) - 48 m^2 dot(p1,gmunu,p2) + 64 m^2 dot(p1,gmunu,p4) + 64 m^2 dot(p2,gmunu,p4) - 64 m^2 dot(p4,gmunu,p4) - 64 m^4 "checking Mandelstam formulas (1=ok)" s = dot(p1 + p2,gmunu,p1 + p2) t = dot(p1 - p3,gmunu,p1 - p3) u = dot(p1 - p4,gmunu,p1 - p4) f11 == 8 t u - 24 t m^2 - 8 u m^2 - 8 m^4 f12 == 8 s m^2 - 32 m^4 f22 == 8 t u - 8 t m^2 - 24 u m^2 - 8 m^4 m = 0 s == 4 E^2 t == -2 E^2 (1 - expcos(theta)) u == -2 E^2 (1 + expcos(theta)) t == -4 E^2 expsin(theta/2)^2 u == -4 E^2 expcos(theta/2)^2