-- www.eigenmath.org/annihilation-2.txt

-- Verify momentum formulas for electron positron annihilation.

p = sqrt(E^2 - m^2)

p1 = (E, 0, 0, p)
p2 = (E, 0, 0, -p)

p3 = (E,
      E expsin(theta) expcos(phi),
      E expsin(theta) expsin(phi),
      E expcos(theta))

p4 = (E,
      -E expsin(theta) expcos(phi),
      -E expsin(theta) expsin(phi),
      -E expcos(theta))

I = ((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1))

gmunu = ((1,0,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,-1,0),(0,0,0,-1))

gamma0 = ((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,-1,0),(0,0,0,-1))
gamma1 = ((0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,-1,0,0),(-1,0,0,0))
gamma2 = ((0,0,0,-i),(0,0,i,0),(0,i,0,0),(-i,0,0,0))
gamma3 = ((0,0,1,0),(0,0,0,-1),(-1,0,0,0),(0,1,0,0))

gamma = (gamma0,gamma1,gamma2,gamma3)

gammaT = transpose(gamma)
gammaL = transpose(dot(gmunu,gamma))

"computing probability density"

q1 = p1 - p3
q2 = p1 - p4

qslash1 = dot(q1,gmunu,gamma)
qslash2 = dot(q2,gmunu,gamma)

pslash1 = dot(p1,gmunu,gamma)
pslash2 = dot(p2,gmunu,gamma)

P1 = pslash1 + m I
P2 = pslash2 - m I

Q1 = qslash1 + m I
Q2 = qslash2 + m I

T = dot(P1,gammaT,Q1,gammaT,P2,gammaL,Q1,gammaL)
f11 = contract(contract(contract(T,3,4),2,3))

T = dot(P1,gammaT,Q2,gammaT,P2,gammaL,Q1,gammaL)
f12 = contract(contract(contract(T,3,5),2,3))

T = dot(P1,gammaT,Q2,gammaT,P2,gammaL,Q2,gammaL)
f22 = contract(contract(contract(T,3,4),2,3))

"checking momentum formulas (1=ok)"

f11 == 16 dot(p1,gmunu,p1) dot(p1,gmunu,p2) -
       32 dot(p1,gmunu,p1) dot(p2,gmunu,p3) -
       16 dot(p1,gmunu,p2) dot(p3,gmunu,p3) +
       32 dot(p1,gmunu,p3) dot(p2,gmunu,p3) -
       48 m^2 dot(p1,gmunu,p2) +
       64 m^2 dot(p1,gmunu,p3) +
       64 m^2 dot(p2,gmunu,p3) -
       64 m^2 dot(p3,gmunu,p3) - 64 m^4

f12 == -32 dot(p1,gmunu,p1) dot(p1,gmunu,p2) +
        32 dot(p1,gmunu,p2) dot(p1,gmunu,p3) +
        32 dot(p1,gmunu,p2) dot(p1,gmunu,p4) -
        32 dot(p1,gmunu,p2) dot(p3,gmunu,p4) -
        48 m^2 dot(p1,gmunu,p1) +
        48 m^2 dot(p1,gmunu,p2) +
        32 m^2 dot(p1,gmunu,p3) +
        32 m^2 dot(p1,gmunu,p4) -
        16 m^2 dot(p2,gmunu,p3) -
        16 m^2 dot(p2,gmunu,p4) -
        16 m^2 dot(p3,gmunu,p4) + 32 m^4

f22 == 16 dot(p1,gmunu,p1) dot(p1,gmunu,p2) -
       32 dot(p1,gmunu,p1) dot(p2,gmunu,p4) -
       16 dot(p1,gmunu,p2) dot(p4,gmunu,p4) +
       32 dot(p1,gmunu,p4) dot(p2,gmunu,p4) -
       48 m^2 dot(p1,gmunu,p2) +
       64 m^2 dot(p1,gmunu,p4) +
       64 m^2 dot(p2,gmunu,p4) -
       64 m^2 dot(p4,gmunu,p4) - 64 m^4

"checking Mandelstam formulas (1=ok)"

s = dot(p1 + p2,gmunu,p1 + p2)
t = dot(p1 - p3,gmunu,p1 - p3)
u = dot(p1 - p4,gmunu,p1 - p4)

f11 == 8 t u - 24 t m^2 - 8 u m^2 - 8 m^4
f12 == 8 s m^2 - 32 m^4
f22 == 8 t u - 8 t m^2 - 24 u m^2 - 8 m^4

m = 0

s == 4 E^2
t == -2 E^2 (1 - expcos(theta))
u == -2 E^2 (1 + expcos(theta))

t == -4 E^2 expsin(theta/2)^2
u == -4 E^2 expcos(theta/2)^2